רקע תיאורטי

מתארים וכמתים

עד כה עסקנו בלוגיקה שבה היחידה הבסיסית היתה הטענה. כעת נראה הרחבה של הלוגיקה המאפשרת "לפרק" טענות ולהתייחס למבנה הפנימי שלהן. הרחבה זו של הלוגיקה נקראת תחשיב המתארים, או תחשיב הפרדיקטים (פרדיקט (predicate) היא המילה הלועזית למתאר).

נעניק לטענות את המבנה:

מתאר(מתוארים)

המתאר הוא תכונה או יחס, והמתוארים הם אלה שהתכונה או היחס חלים עליהם. לעיתים המתאר הוא הנשוא של המשפט העברי המקביל והמתוארים הם הנושא והמושאים.

את הטענה הארי פוטר הוא קוסם נפרק למתאר ולמתואר: קוסם(הארי_פוטר).
את הטענה ג'יימס הוריש להארי גלימת היעלמות נצרין כיחס בין שלושה מתוארים: הוריש(ג'יימס, הארי, גלימת_היעלמות).

אמצעי נוסף להעשיר את השפה הפורמלית הוא להשתמש בכמתים. כמתים מאפשרים לנו להביע טענות שיש בהן הכללות או קביעות כלליות.

הכמת הכולל (לכל) מאפשר להביע טענות כלליות כמו כל קוסם למד בהוגווארטס. הכמת הישי (יש) מאפשר להביע טענות על קיום כמו יש לפחות קוסם אחד שלמד בהוגווארטס.

הכמת הכולל והכמת הישי הם הכמתים הבסיסיים. אך שימו לב שבשפה טבעית אנו משתמשים בכמתים רבים נוספים, כמו: חלק מ-, בדיוק 3, רוב, מחצית, וכולי.

כמתים מביעים טענה כללית בלי לנקוב בשמו של פרט זה או אחר. הכמת הכולל טוען משהו לגבי "כל אחד", והכמת הישי טוען משהו לגבי "מישהו מכולם". את הטענה כי יש לפחות קוסם אחד שלמד בהוגווארטס אפשר לנסח גם כך: יש לפחות מישהו אחד שהוא קוסם ושלמד בהוגווארטס. כדי לציין "מישהו" משתמשים במשתנה. משתנים נכתבים כאותיות לטיניות גדולות (X, Y, …).

הטענות המכומתות שהצגנו יוצרנו כך:

יש לפחות קוסם אחד שלמד בהוגווארטס -------> יש X: קוסם(X) וגם למד_בהוגווארטס(X).

כל קוסם למד בהוגווארטס -------> לכל X: קוסם(X) אם-אז למד_בהגווארטס(X).

בעזרת תחשיב המתארים אפשר להוכיח כי ההיסק הבא תקף:

שימו לב: בתחשיב הטענות שלמדנו בתחילה אי אפשר להוכיח שההיסק תקף, שהרי לכאורה מדובר בשלוש טענות בלתי תלויות p, q, ו-r. רק אם בוחנים את המבנה הפנימי של הטענות בתחשיב המתארים נחשף הקשר ביניהן.

מבוא

נושאים בסיסיים

נושאים מתקדמים

סיכום