כפי שטיורינג מסביר, זה נראה כפרדוקס. אם ניתן לתאר את המספר הזה באמצעות פעולות שמספרן סופי, מדוע אינו ניתן לחישוב? הבדיקה מלמדת, כי שורש הבעיה בזיהוי אותן מכונות טיורינג שאינן מצליחות לייצר ספרות בכמות אינסופית. פעולת הזיהוי הזאת אינה פעולה הניתנת לחישוב : אין מכונת טיורינג המסוגלת לבדוק את הטבלה של כל מכונה אחרת ולהכריע אם היא כן תייצר או לא תייצר אינסוף ספרות. אפשר להיווכח בכך בצורה יותר ישירה : אילו הייתה מכונה כזאת, אפשר היה להפעיל אותה על עצמה, וברעיון הזה אפשר להשתמש כדי להביא לסתירה. כיום אי-היכולת של טיורינג להכריע בשאלה זו, המכונה בעיית העצירה (halting), מוכרת כעובדה מוצקה. לא צריך לבצע מהלך קשה במיוחד כדי לעבור מן הגילוי הזה, של בעיה שאיננה ניתנת להכרעה על ידי מכונה, להפעלה של התחשיב הפורמלי של הלוגיקה המתמטית, וכך לענות בשלילה על שאלת ההכרעה, אם אמיתות של משפט היא בת-הכרעה, ה- Entscheidungsproblem של הילברט.

טיורינג, מכל מקום, הדגיש את הנקודה שאין אי-עקביות בעצם ההגדרה של מספרים שאינם ניתנים לחישוב; המספרים האלה הם נושא שתורת החישוביות המודרנית מטפלת בו באמצעות פעולות מדויקות וטיעונים לוגיים. ייתכן אף שאפשר לחשבן ולמצוא כל ספרה של מספר שאינו-ניתן-לחישוב-באמצעות-עיבוד-סמלים (uncomputable) אבל – וזה עוקץ העניין – יש צורך באינסוף שיטות שונות כדי למצוא את כל הספרות האלה. יחד עם זאת, לתכונת החישוביות יש תשתית מתמטית מוצקה : זו היתה טענתו של טיורינג בזמנו, והיא לא עורערה עד היום.